Monday, February 24, 2014

Solutions to More Difficult Complex Integrals


1)  Evaluate:   

 
o 2p   dq / (37  -  12 cos q)  for  ÷ z ÷ < 6

 
Again: cos q  =  [exp(iq) + exp (-iq)]/ 2

 
 
But z =  exp (iq)  so that:  cos q  =   z + z -1/ z

 
And dz =  iexp(i q )  dq =   iz dq so that:  dq  = dz/ iz

 
Then:
 

o 2p   dq / (37  -  12 cos q)  = 


 ò C   dz/ iz /[ 37 -   12 (z + z -1/ z) ]

 

=  ò C   dz/ iz / [ 37 -   6 (z + z -1) ]

 

=    ò C   dz / 37 -   6 (z + z -1/ z)  iz =  


1/i ò C   dz / 37z -   6 z2 – 6

 

Solve the quadratic (in denominator) to obtain the poles:

 
-        6 z2  + 37z  - 6 = 0

 
Factors to yield: (-6z + 1)(z – 6) = 0

 

Therefore: z = 1/6 and z = 6

 
Both poles are simple and also acceptable for the condition. Since both poles are simple we can use:

 
Res [f(z)] z ®  z o    =    [p(z)/ q’(z)] z ®  z o



For which p(z) = 1 and q’(z) = -12z + 37

 

Res [f(z)] ®  1/6    =     [1 / -12 (1/6) + 37]

 

=  1/ (-2 + 37) = 1/35


And:

 
  ò C   f(z)   dz = 1/i [2 pi  c - 1  ]   =   2 p/ 35

 

\   o 2p   dq / (37  -  12 cos q)   =  2 p/ 35

 
For z = 6:

 
Res [f(z)] z =  6     =    [1 / -12 (6) + 37] = 

 
1/ (-72 + 37) = -  1/35

 

So that:

 
  ò C   f(z)   dz =  -1/i [2 pi  c - 1  ]   =   - 2 p/ 35

 
2)  Evaluate:

 
o 2p   dq / (13 -   5 sin q)     for  ÷ z ÷ < i

 
Here:   sin  q  =  [exp(iq) -  exp (-iq)]/ 2i

 
But z =  exp (iq)  so that:  sin  q  =    1/ 2i  (z + z -1) 

 

And dz =  iexp(i q )  dq =   iz dq so that:  dq  = dz/ iz


Rewrite the integral in terms of complex variable z:

 
o 2p   dq / (13 -   5 sin q)     = 


ò C   dz/ iz / [ 13 -   5/ 2i (z + z -1) ]

 
=  ò C   dz /  [13 -   5/ 2i (z + 1/ z) iz]


=  ò C   2 dz /  (-   5 z2  +   26i z +  5)

 
Solve for the complex quadratic in denominator to get:

 
(5z – i) (-z + 5i) = 0

 
There is only one relevant pole here, which is z = i/5.     The other doesn’t meet the condition ÷ z ÷ < i

 

Res [f(z)] z ®  z o    =    [p(z)/ q’(z)] z =  i /5

 

=  [2/  (-10z  + 26i)]

 
 =     2/ (-10 (i/5) + 26i) = 2/  (-2i + 26i) = 2/ 24i  = 1/12i

 
Then:

  ò C   f(z)   dz =    [2 pi  c - 1  ]   =    2 pi  ( 1/12i) 


=   2 p/ 12 =  p/ 6 

 
Therefore:

 
o 2p   dq / (13 -   5 sin q)      =  p/ 6 

 

No comments: